锦秋师资考情解析|2020年10月A-Level数学P1-P4考情回顾及备考指导

       A-Level数学和进阶数学是雇主认为有技术含量的科目也是英国大学招生的“受欢迎”学科，所有以科学为基础的学位都要求较好的数学能力，工程、计算机、经济、甚至社会科学学位也都要求数学能力

　　01、A-Level数学考试能力要求

　　课程目标中A-Level数学学科对于考生在知识掌握和能力上的具体要求：

　　首先学生在课程的学习中，要培养自己对数学原理的理解，但也不单单是理解，还要将其理解为一种逻辑;

　　其次认识和理解了基本原理，就要运用到实践中，学生要掌握一系列数学技能，尤其是那些能够在日常生活中使用到的，或者可能正在学习的其他科目中的数学;

　　再次使用逻辑分析问题的能力很重要，这样可以认识到在什么情况下、运用什么样的方式来表示/解释某一情况，并能够选择正确合适的数学方法解决问题;

　　最后可以将数学作为一种交流手段，使用清晰直观的表达方式获取数学背景，以便在相关学科中进一步学习。

　  下面我们一起跟着锦秋数学组老师

　　回顾下刚刚结束的A-Level数学十月考试

　　整理出21年1月考试备考方向

　　快来!纯干货!

　　锦秋师资带你梳理A-Level数学考点啦!!

　　02、A-Level数学P1 2020年10月考情分析

　　考试代码及时间：

　　WMA11/01，2020年10月19日

　　Question1

　　考查学生对幂运算公式的掌握。通过index law对表达式进行化简并整理为特定形式。

　　第1章algebraic expression的内容基础且重要，考试中极为常见，即使不专门出题考查，在P1考试的微积分相关题目里也很可能出现相关考点。

　　Question2

　　主要考查考生对第2章中通过completing square解方程和二次函数图像相关知识点的掌握。

　　第a问要求使用配方法将题目中的表达式整理成特定形式;

　　第b问则要求画图像后通过解方程求得三角形的三个顶点坐标后进而求得三角形面积。

　　Question2

　　本题是对radians、trigonometric ratio相关内容的考查。需要学生熟练运用sector面积公式、triangle面积公式、cosine rule以及length of arc公式。

　　思路分别为已知扇形面积和半径求圆心角，已知两边夹一角求三角形面积，已知两边夹一角求三角形第三边，以及已知圆心角和半径求弧长。思路较直接，重点在公式的运用。

　　Question4

　　本题考查P1第3章方程组的求解。通过substitution或elimination求解即可，属于常见题型。

　　Question5

　　本题考查图像变换以及三角函数图像。

　　第i问的a、b小问分别考查了图像的translation和reflection的变化，根据图像变化规律画图并标出相应特殊点坐标;

　　第ii问考查了cosine函数图像以及变化，通过图像值判断竖向拉伸系数，再通过水平平移规律求得与x轴坐标。

　　本题第i问比较常规，第ii问综合了三角函数图像与图像变化的考点，需要学生对教材第4章与第6章相关知识点的掌握。

　　Question6

　　本题考查第5章直线相关知识点，包含中点坐标公式、斜率公式、两条直线垂直时的二者斜率关系和两点间距离公式等考点。

　　特殊点在于，本题并未直接点明考查的是两点间距公式，而采用了构造三角形并令其面积等于某定值的方式要求学生通过分析找到特定两点的间距要求，从而选择正确的公式。

　　Question7

　　本题考查学生对反比例函数图像、图像的转换、图像的交点、通过discriminant判断二次函数根的个数以及二次不等式求解等知识点。

　　学生需要根据第4章知识画出反比例函数图像并对其进行相应变换得到正确图像;联立函数解析式构建方程组并求解得到交点坐标;通过根的个数等已知条件根据第3章知识点得出discriminant表达式和值的范围;最后求解二次不等式求得最后一问答案。

　　本题难度不高，但比较综合，需要学生对函数相关知识点融会贯通。

　　Question8

　　本题考查第8章微分有关导数求解、导数的图像意义及应用(求切线)等考点。需要学生对导数的概念与意义深入理解，而不是仅仅掌握计算方法和技巧。

　　Question9

　　本题考查积分的计算。学生需要用到第1章index law的部分知识对函数式进行变形，然后求积分，并根据原函数上一点坐标求得积分结果中的常数项C。

　　本题比较常规，只要相关幂运算公式和积分公式熟练掌握，并避免计算错误，并不难拿分。

　　总结

　　本次考试整体来说中规中矩，未见出乎意料的考点，第6题分析稍显新颖且计算稍微复杂，但亦算不上难题;考点比较全面，各章节常考知识点基本均有涉及，但近几次考试中频繁出现的区域不等式类题目并未出现;本次考试中涉及图像的题目总分达到15分左右，比例稍大。

　　另外，本次考试出题人好像很喜欢三角形面积公式，九道题里居然有三道题与三角形面积有关。

　　A-Level数学P2 2020年10月考情分析

　　考试代码及时间：

　　WMA12/01，2020年10月21日

   　1、Analysis

　　本题考查P2第4章二项式展开，小问要求按照x的升序次方写出前四项。此题属于常规题型，常规考查，第二小问需要用完全平方公式展开，分别用展开后的三项与上疑问展开的式子相乘找到常数项。

　　类似真题：

　　June 2019 Q4，Nov 2019 Q3， Jan 2020 Q2

　　2、Analysis

　　本题考查P2第8章梯形法则，小问常规题目根据x求y的值，第二小问则是直接套用梯形法则公式求面积。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q1

　　3、Analysis

　　本题考查P2第1章因式定理，余数定理以及第7章微分求极值。前面两问分别用因式定理和余数定理罗列等式联立求解，第三问是一个基础的微分，最后一问求极值，可以直接套用第三问的微分过后的方程。

　　类似真题：

　　June 2019 Q6，Nov 2019 Q4， Jan 2020 Q3

　　4、Analysis

　　本题考查P2第2章圆的方程。前两小问常规题目，求圆的圆心半径以及方程，第三小问根据圆的切线垂直于圆心到切点求出圆上一点的切线方程。

　　类似真题：

　　June 2019 Q2，Nov 2019 Q6， Jan 2020 Q6

　　5、Analysis

　　本题考查P2第5章等差数列的知识点。前两小问考察的是等差数列的通项公式和求和公式;第三小问还是运用等差数列求和公式，第四小问是解方程简单，最后一小问需要指出不合理的项数，因为这个项数会给出一个负值，不符合情景(存钱)。

　　类似真题：

　　June 2019 Q7， Jan 2020 Q8

　　6、Analysis

　　本题考查P2第8章积分求面积的知识点。小问很简单需要联立函数解方程，第二小问是用定积分求两个函数所夹的图形的面积，阴影上方函数减下方函数的定积分，最终面积需要保留精确值。

　　类似真题：

　　Nov 2019 Q8， Jan 2020 Q4

　　7、Analysis

　　本题考查P2第6章三角函数的知识点。小问是三角函数的证明题，基础，只需要记住基础的三角函数的诱导公式就可以证出;第二小问是运用ASTC和计算器求三角函数的转角，单位要用度数并且保留一位小数位。

　　类似真题：

　　June 2019 Q9，Nov 2019 Q9， Jan 2020 Q7

　　8、Analysis

　　本题考查P2第5章等比数列的知识点。小问是老生常谈的等比数列求和的证明过程;第二小问是根据条件罗列两个方程求解等比和首项;第三小问是直接运用等比数列求和的公式。题目很直接没有任何变换。

　　类似真题：

　　June 2019 Q7，Nov 2019 Q2， Jan 2020 Q5

　　9、Analysis

　　本题考查P2第3章指数对数函数的知识点。问是常规的解对数函数方程，需要注意的是解完方程之后x的值的取舍;第二问是一个证明题，需要用到指数的运算法则进行转换，并且求解。

　　类似真题：

　　June 2019 Q8，Nov 2019 Q7， Jan 2020 Q9

　　10、真题小结

　　本次P2考试较为简单，计算量不大，问题都很直接，没有需要技巧的新题，而且证明题的题型没有出现，微分的题目只出现了一次，而且还是一个小问，只要求得出一个极值即可，并没有出现二次求导判断极值的题目，积分的题目虽然考察的比较全面两种题型求面积：梯形法则和定积分都涉及了，但是梯形法则一直是简单的送分题目，此次积分没有考察到定积分的变形。

　　除此之外，数列的题目考察的较多，等差和等比的知识点都考察到了。总而言之，这一套题目整体难度不高，算是疫情之后次考试给出的福利。

　　A-Level数学P3 2020年10月考情分析

　　考试代码及时间：

　　WMA13/01，2020年10月8日

　　1、Analysis

　　本题考查P3第4章三角函数中的二倍角公式以及三角函数求转角，要求结果保留一位小数并且单位在计算的过程中要用度数。此题属于常规题型，常规考查，部分学生可能会遗忘角度的范围从而少写解的个数。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q5

　　2、Analysis

　　本题考查P3第5章指数函数对数函数的化简与运算，并要求结果整理成最简形式。需要学生对指数对数互相转换熟练并且熟练，并且注意计算细心。此外，需要注意题目中对算数的要求以及单位需要看清楚。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q3

　　3、Analysis

　　本题考查P3第6章微分中的Quotient rule以及第二章中函数的值域，微分的过程中需要注意分母的函数是带着根号的复合函数并且题目要求最终的导函数要化到最简;在求函数的值域的时候要用到一次微分等于零求函数的极值。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q4

　　4、Analysis

　　本题考查P3第2章值函数复合函数求解以及函数的图像转换。题目问和第二问简单并且是完美的复制了一月份考题的第六题，第三小问考察的是多于一条规律的图像转换，需要注意转换的顺序。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q6

　　5、Analysis

　　本题考查P3第3章三角函数的和差公式以及第4章三角函数的倍角公式以及定积分的知识点。小问是常规题目，第二小问需要应用小问的结论对证明的式子进行一步移项，之后再做定积分。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q8

　　6、Analysis

　　本题考查P3第8章迭代法。小问简单的去代数解指数方程;第二小问就是常规的迭代法的题目找一个合适的区间证明方程的解，第三小问也是常规题目给予x的初始值然后依次求出方程的解。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q7

　　7、Analysis

　　本题考查P3第4章三角函数的辅助角公式。小问是毫无创新的必考题型辅助角公式中求R和α，需要注意的是R保留精确值，α单位是弧度并且保留三位小数;第二小问也是常规的求建模中的最小值下能得到的另一个变量的值，需要注意单位，最后一小问也是带值求解，整体难度不高，需要注意计算。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q9

　　8、Analysis

　　本题考查P3第6章微分的知识点。小问考察的是微分中的product rule，需要注意复合型的三角函数求导不要漏项，题目还需要掌握一次微分等于零可以用来求极值;第二部分考察的是对于导函数的倒数的理解，但是最终答案要化简到题目的要求的形式，总的来说这道题目难度正常。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q4

　　9、Analysis

　　本题考查P3第1章拆分以及第7章积分。题目属于常规题型，小问运用拆分把复杂的分式简化，第二小问借助问答案直接微分求切线方程，第三小问则是运用积分求面积的知识点但是最终结果需要保留要求的格式。

　　类似真题：

　　Jan 2020 Q8

　　10、真题小结

　　本次P3考试较为简单，难度相比20年01月的P3考试有所降低。

　　三角函数、微分和积分仍然是考查重难点，但是计算量不大，问题都很直接，没有需要技巧的新题，而且反函数和复杂的积分的题目此次考试均未涉及，这也从一个侧面说明了本次题目较简单。

　　对比了一下此次考试和次P3官考的题目不难发现题目题型只是换汤不换药，改个数字，改个问法，而且函数的积分的题目难度并没有想象中那么难，而微分也只是考察了基础的chain rule，product rule 和quotient rule甚至于还在考察之前P12学过的微积分的知识点。

　　A-Level数学P4 2020年10月考情分析

　　考试代码及时间：

　　WMA14/01，2020年10月13日

　　Q1 (4pt)

　　本题考查了P4的第1章：用反证法证明如果n³是偶数，那么n也是偶数。这是一道比较经典的反证法的题目。

　　考生在答题的时候注意四个得分点：

　　是assumption，将原命题的negation写出来;

　　第二证明的主体;

　　第三得出的结论和已有事实或者假设有矛盾;

　　第四原命题正确。

　　这四个部分缺一不可，在证明题里面，证明的结构和和证明的内容都的重要，次接触的学生要养成良好的习惯。

　　Q2 (8pt)

　　本题考查了P4的第4章二项式展开。

　　a问常规题，先将常数项化成1，然后利用二项式展开的公式将式子写成多项式的形式，题目要求写到x²这一项，所以答案需要包含三项。

　　b/c问将题目中的表达式看成两个式子相乘的形式，其中的根式用结果替换，得出的式子与已知条件对照系数，求出m和k的值。

　　之前的考试中出现这样的题型，考生在做题的时候要注意计算，尤其是问，如果出错很有后面两问都会受影响。

　　Q3 (6pt)

　　本题考查了P4的第6章积分。考生需要求函数围绕x轴旋转360°之后所围成的图形的体积，利用公式得出最后的结果，并将结果的精确值用题目所要求的形式写出来。

　　首先考生需要先通过解指数方程求出函数图像和x轴的交点，然后利用积分的基本公式求出精确值。本题积分的解法难度不是太大。

　　Q4 (12pt)

　　本题考查了P4的第5章参数方程求导问求参数方程和x轴的交点坐标，令y的表达式等于0并求出三个t值，带回到x的表达式求出相对应的x coordinate。b问证明过已知点的切线方程。利用参数方程求导的公式，算出dy/dx，然后将B点的横纵坐标分别代入就能得到切线斜率，最后点斜式求出切线方程，整理成题目所要求低的形式。c问求切线和方程图像的另一个交点，需要考生联立参数方程和切线方程求出t的值，然后算出除B点外的另一个交点。

　　Q5 (7pt)

　　本题考查了P4的第6章积分。

　　a问学生可以用integration by parts的方法解积分，这个题之前的考试以及课后练习题都有出现，属于比较明显的运用分部积分的题目。不定积分注意最后的常数c。

　　b问根据上一问的结果，求函数和x轴所围成的面积，主要还是积分的运用，解题过程中用到了幂函数，对数函数的积分公式，考生需要能够记住并且熟练应用。

　　Q6 (7pt)

　　本题考查了P4的第5章隐函数求导。本题的出题方式比较新颖，是近几年考试没有出现过的题目，但是题目的指示清楚，学生能够通过题目的提示，以及上课时指数函数的求导公式的推导得到解题的灵感。

　　a问将题目所给的式子两边同时去自然对数，然后运用隐函数求导算出dy/dx。

　　b问求函数的stationary point，令导数等于0求出x和y的关系，然后代入原始方程，求出题目中要求的式子。

　　Q7 (12pt)

　　本题考查了P4第6章积分的内容，主要是几种解积分常用的方法。

　　i问提示学生用substitution解积分，和以往C34的题目不同，这次题目没有规定具体的换元内容，考生可以根据自己的实际情况选择替换的部分。常见的换元有两种：u=2x-1 or u²=2x-1。采用第二种方法时注意求dx的表达式的时候需要使用隐函数求导，或者将x用u表达出来然后求dx/du.

　　ii问没有题目使用哪种方法，但是还是比较容易辨认出来是partial fraction，此方法实际操作不难，难在不容易被想到，一旦想起来解出来还是比较容易的。

　　Q8 (10pt)

　　本题考查了P4第7章向量。常规题目，难度比C34的题目要小。

　　a问已知两条直线的vector equation，求直线的交点，联立方程子，选取其中的两个式子，解得λ, μ，再将得到的得数代入方程中算出来交点的position vector。写答案时按照题目的要求，注意区分position vector和coordinate。

　　b问已知一条直线上的P点坐标，求l₂上的一点Q，使得

列出关于μ的方程，解出来即可。

　　Q9 (9pt)

　　本题考查了P4第6章积分，微分方程的内容。以应用题的形式，题目表达不是很难。没有和相关变化率的知识一起考查，从程度上降低了难度。

　　a问题目给出微分方程以及初始条件，学生可以采用分离变量法证明出A的表达式。这里需要注意的是，答案中的参数都需要写成整数的形式。

　　b问需要求出A的表达式的limit，这个是P3的一个常考点，分式函数的range。

　　P4每章所占比重及小结

　　本次P4考试是新考纲时期的次官考，整体上来说，爱德思官方还是比较友善的，并没有出现太多新的题型，题目中规中矩，整体难度不大。

　　和C34的考试一样，这次P4考试的微积分占了53分，积分更是到了34分，可以说“得积分者得天下”。虽然新考纲将三节的积分内容分到了P3，但是积分依旧是考查的重点。

　　本次考试，没有考查的内容是related rate，这也是以往考试的时候容易和微分方程一起出题的部分，对学生的阅读能力要求较高，不要忽视。